Phantom Bird

外观

Even Picture 的 n+O(√n) 构造

约 811 字大约 3 分钟

OImaths

2024-10-07

本蒟蒻的第一篇题解，求过。

大概是最优构造：

由于楼上同样是 n+O(n)n+O(\sqrt{n}) 的大佬没有贴代码，所以比较不了。

用不同颜色将其分成了九块。

左上角/右下角块只有一个点染色，中间块除对角线外染色，其余块按三角形染色。

推算

设每块大小为 s×ss \times s，由小学奥数可得

S总=4s2+2s+2S_\text{总}=4s^2+2s+2

S冗余=8sS_\text{冗余}=8s

S有效=4s2−6s+2S_\text{有效}=4s^2-6s+2

由于 S有效≤nS_\text{有效} \le n，根据求根公式，令

s=⌊6+16n+48⌋s=\left\lfloor \frac{6+\sqrt{16n+4}}{8} \right\rfloor

假如 n−S有效n-S_\text{有效} 的剩余部分用形如

##
###
 ###
  ###
   ##

的尾巴接在原图形上面，则有

k=S总+3(n−S有效)k=S_\text{总}+3(n-S_\text{有效})

稍加计算可得

n+4n≤k≤n+12nn+4\sqrt{n} \le k \le n+12\sqrt{n}

对于 n≤500n \le 500 有 k≤748.k \le 748.

优化

如果小尾巴改成递归构造，则上界更新为 min⁡(x+6x+43,x+12x)\min\left(x+6\sqrt{x}+43,x+12\sqrt{x}\right) （纯靠手动调参拟合，一点都不紧）

对于 n≤1000n \le 1000 有 k≤1192.k \le 1192.

欣赏一下构造的图形

（在代码中调用 canvas.debug() 即可欣赏）

n=500,k=640n=500, k=640

n=500, k=640
                      ##
                     ####
                    ######
                   ########
                  ##########
                 ############
                ##############
               ################
              ##################
             ####################
           #######################
           # #####################
          ### ###################
         ##### #################
        ####### ###############
       ######### #############
      ########### ###########
     ############# #########
    ############### ####### ##
   ################# ##### ####
  ################### ### ######
 ##################### # ########
 #################################
  #################### # #########
   ################## ### #######
    ################ ##### #####
     ############## ####### ###
      ############ ######### # ##
       ##########  ###############
        ########    ######## # ###
         ######      ###### ### #
          ####        ####  #####
           ##          ##    ##

Code:

从普通版一直改到四次加强的屎山。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;

void small_main(){
    printf("%d\n", 3*n+4);
    printf(
    	"1 1\n"
		"1 2\n"
		"2 1\n"
		"2 2\n"
    );
    for (int i=1; i<=n; i++){
        printf(
            "%d %d\n%d %d\n%d %d\n",
            i+1, i+2,
            i+2, i+1,
            i+2, i+2
        );
    }
}

struct coord {
    int x, y;
};

const int maxdebug=80;
char buf[90][90];  // debug only

inline int __flip(bool flip, int size, int x){
	return flip ? (size+1-x) : x;
}

struct Canvas {
	int xoff, yoff;  // 每次画完之后把原点移动到特定位置，方便前后衔接
    vector<coord> ans;
    int cur_row = 1;

	void draw(int x, int y){
		ans.push_back({x+xoff, y+yoff});
	}

    void debug(){
        memset(buf, ' ', sizeof buf);
        for (int i=0; i<=maxdebug; i++){
            buf[i][maxdebug+2] = '\n';
            buf[i][maxdebug+3] = '\0';
        }
        for (coord &c: ans) {
            buf[c.x][c.y] = '#';
        }
        for (int i=0; i<=maxdebug; i++){
            cout << buf[i];
        }
    }

    void output(){
        printf("%d\n", ans.size());
        for (coord &c: ans) {
            printf("%d %d\n", c.x, c.y);
        }
    }
    
    void draw_triangle(int size, int row, int col, bool xflip, bool yflip){
    	// xflip=yflip=0时 
		// ###
    	// ## 
    	// #
    	// xflip 上下翻转，yflip 左右翻转
    	int x0 = row * size, y0 = col * size;
		for (int i=1; i<=size; i++){
			for (int j=1; i+j<=size+1; j++){
				draw(x0 + __flip(xflip, size, i),
					 y0 + __flip(yflip, size, j)); 
			}
		}
	}
	
	void draw_dhyy(int size, int row, int col){
		// 缺对角线的正方形
		//  ##
		// # #
		// ##
		int x0 = row * size, y0 = col * size;
		for (int i=1; i<=size; i++){
			for (int j=1; j<=size; j++){
				if (i != j){
					draw(x0+i, y0+j);
				}
			}
		}
	}
} canvas;



int main(){
    cin >> n;

    if (n<=30){
        small_main();
        return 0;
    }

	bool flag = false;
	// flag = not 是不是最左上角的
	// 处理衔接用

	while (n >= 7) {
		if (flag){
			n--;
		}
		int size = sqrt(16*n+4);
	    size = (size + 6) / 8;
//	    printf("size=%d\n", size);
		
		if (!flag){
	    	canvas.draw(size, size);
		}
		
		// 预留空间，1, 1 -> size, size
		if (flag){
			canvas.xoff -= size - 1;
			canvas.yoff -= size - 1;
		} else {
			flag = true;
		}	    
		
	    canvas.draw_triangle(size, 0, 1, 1, 1);
	    canvas.draw_triangle(size, 0, 2, 1, 0);
	    canvas.draw_triangle(size, 1, 0, 1, 1);
	    canvas.draw_dhyy(size, 1, 1);
	    canvas.draw_triangle(size, 1, 2, 0, 0);
	    canvas.draw_triangle(size, 2, 0, 0, 1);
	    canvas.draw_triangle(size, 2, 1, 0, 0);
	    canvas.draw(2*size+1, 2*size+1);
	    
	    n -= 4*size*size - 6*size + 2;
	    
	    // move 2*size+1, 2*size+1 -> 1, 1
	    canvas.xoff += 2*size;
		canvas.yoff += 2*size;
	}
	    
    
    for (int i=1; i<=n; i++){
    	canvas.draw(i+1, i);
    	canvas.draw(i, i+1);
    	canvas.draw(i+1, i+1);
	}
    
//    canvas.debug();
    canvas.output();

    return 0;
}

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