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绝对值的 max 分解及其应用

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2025-1-11

绝对值的 max⁡\max 分解是指

∣a∣=max⁡{a,−a}.|a| = \max\{a, -a\}.

相比于将含绝对值的不等式分解为两个不等式，这种分解方法更直接、更紧，且能更好地解决含绝对值的不等式问题。

例 1

2024.11.6 提出 max⁡\max 分解时的例题。

问题

已知 [x2+(m−2)x+∣x2−(m+2)x+2∣]min⁡=0{\Large[}x^2+(m-2)x+ {\large|} x^2-(m+2)x+2 {\large|}{\Large]}_{\min} = 0，求 mm 的取值范围。

解：

    x2+(m−2)x+∣x2−(m+2)x+2∣~~~~x^2+(m-2)x+|x^2-(m+2)x+2|
=x2+(m−2)x+max⁡{x2−(m+2)x+2,−[x2−(m+2)x+2]}=x^2+(m-2)x+\max\{x^2-(m+2)x+2, -[x^2-(m+2)x+2]\}
=max⁡{x2+(m−2)x+[x2−(m+2)x+2],x2+(m−2)x−[x2−(m+2)x+2]}=\max\{x^2+(m-2)x+[x^2-(m+2)x+2], x^2+(m-2)x-[x^2-(m+2)x+2]\}
=max⁡{2(x−1)2,2mx−2}=\max\{2(x-1)^2, 2mx-2\}

图象

由图象可知 2m×1−2≤02m\times1-2\le0，故 m∈(−∞,1]m\in (-\infty, 1].

例 2

问题

若 ∀m>0,m2+∣m−a∣≥94\forall m>0, m^2 + |m-a| \ge \dfrac{9}{4}，求 aa 的取值范围。

解：∀m>0\forall m>0，

m2+∣m−a∣=m2+max⁡{m−a,a−m}=max⁡{m2+m−a,m2+a−m}≥94,  ⟺  m2+m−a≥94 或 m2+a−m≥94,  ⟺  a≥−m2+m+94 或 a≤m2+m−94.\begin{align*} &\begin{aligned} m^2 + |m-a| &= m^2+\max\{m-a,a-m\} \\ &= \max\{m^2+m-a, m^2+a-m\} \ge \frac{9}{4}, \end{aligned} \\ \iff& m^2+m-a \ge \frac{9}{4} \text{ 或 } m^2+a-m \ge \frac{9}{4}, \\ \iff& a \ge -m^2+m+\dfrac{9}{4} \text{ 或 } a\le m^2+m-\dfrac{9}{4}. \end{align*}

画出 a-ma\text{-}m 图象如下（阴影部分为满足不等式的部分）：

图象

图1

由于任意 m>0m>0 都要满足不等式，即一整条线 a=a0(m>0)a=a_0(m>0)都要在区域之内。

于是符合要求的区域如下图红色部分：

图象

图2

即 a≤−94a\le-\dfrac{9}{4} 或 a≥52a\ge\dfrac{5}{2}.

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