揭开十字相乘法的面纱

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2022-11-10

我们先从整式乘法开始：
$~~~(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$
$=a_1a_2x^2+a_2c_1x+a_1c_2x+c_1c_2$
$=a_1a_2x^2+(a_2c_1+a_1c_2)x+c_1c_2$
因此，只要 $ax^2+bx+c$ 有 $a_1, a_2, c_1, c_2$ 满足
$\begin{cases}a=a_1a_2 \\ b=a_2c_1+a_1c_2 \\ c=c_1c_2 \end{cases}$
我们就可以将其因式分解成 $(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$

大叉叉的来源

OK，我们已经知道形如 $ax^2+bx+c$ 的整式如何分解因式了，那么， $a_1, a_2, c_1, c_2$ 咋求呢？
我们先来观察一下条件。
$a=a_1a_2$
$c=c_1c_2$
这俩都是数字的因数分解。从他们入手，会更简单些。
为了直观看出 $a_1, a_2, c_1, c_2$ 的关系，我们把他们排进一个表格里。

	由 $a$ 分解来，与 $x$ 相乘	由 $c$ 分解来，不与 $x$ 相乘
在第一个因式	$a_1$	$c_1$
在第二个因式	$a_2$	$c_2$

我们在这个，我们看 $b$ 的条件： $b=a_2c_1+a_1c_2$
可以发现，构成 $b$ 的两项都是上面表格的对角线相乘来的，于是，我们把对角线也放进里面。
$a_1~~~~c_1$
$~~~~\times$
$a_1~~~~c_2$
看，有内味了吧！

分解方法

根据 $a=a_1a_2, c=c_1c_2$ 试一下 $a_1, a_2, c_1, c_2$ ， $a_2c_1+a_1c_2=b$ 即为成功。
没啥特别的，除了试错还是试错，有时候瞪眼法能瞪出来。
试错不要像无头苍蝇，要有序地试，试完 $a_1, a_2$ ，再试 $c_1, c_2$ （ $a=1$ 就不用试 $a_1, a_2$ 了），试的时候聪明 ~~（特别是被智慧主祝福过）~~ 的同学可以根据 $b$ 的值估计 $c_1, c_2$ 的大小。

例子

$3x^2-10x-8$
先看二次项系数3，可以分解为 $1\times3$ （试 $a_1, a_2$ 时没必要考虑正负）
先试 $1\times3$ ：
$1~~~~c_1$
$~~\times$
$3~~~~c_2$
再看常数项-8，这个分解就可以取巧了。
首先-8可以分解为一正一负，而-10这么小的一次项系数又在提醒我们一定要用大负数和3乘。
因此，我们先试 $(-8)\times1$ ：
$1~~~-8$
$~~\times$
$3~~~~1$
$1\times 1+3\times(-8)=1-24=23$
不行，再试 $(-4)\times2$ ：
$1~~~-4$
$~~\times$
$3~~~~2$
$1\times 2+3\times(-4)=2-12=-10$
刚刚好。
验算一下：
$(3x+2)(x-4)=3x^2+2x-12x-8=3x^2-10x-8$ ，没错。