在等差数列里面找等比数列

约 333 字大约 1 分钟

2026-1-8

这篇文章我们来证明这一（其实是两）个命题：

命题

若一个非常数无穷等差数列的首项和公差之比为无理数，则它不存在等比子数列；
若一个非常数无穷等差数列的首项和公差之比为有理数，则它存在无穷等比子数列。

话无再说，速速证明：

上半

（证法来自 HX 佬）只需证明不存在三项等比子列。

考虑反证，假设存在三项 $a-pd, a, a+qd\ (p,q\in\mathbb{N}^*, a \ne 0)$ 满足 $a^2 = (a+pd)(a+qd)$ ，则有

\dfrac{p+q}{pq} = \dfrac{d}{a}

左边是有理数，右边是无理数，矛盾。所以不存在。

与此同时，另外一边：

下半

设 $a_n = dn + r$ ，则 $\dfrac{a_n}{d} = n + \dfrac{r}{d}$ ，当 $n_0 > -\dfrac{r}{d}$ 时有 $\dfrac{a_{n_0}}{d} > 0$ 。

此时设 $\dfrac{a_{n_0}}{d} = \dfrac{p}{q}, p\in\mathbb{N}, q\in\mathbb{N}^*$ ，由 $a_n = d(n-n_0) + a_{n_0}$ ，注意到对于 $m \ge n_0$

(1+q) a_m = (1+q) \left( d(m-n_0) + \dfrac{pd}{q} \right) = d(m+p+(m-n_0)q-n_0) + \dfrac{pd}{q}

在 $\{a_n\}$ 中是第 $\bigl(m+p+(m-n_0)q\bigr)$ 项，而 $m+p+(m-n_0)q \ge m \ge n_0$ ，递推可知等比数列 $b_n = (1+q)^n a_m$ 的项都在 $\{a_n\}$ 中。

版权所有

版权归属：Phantom-Bird