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Volcanor-2026-exam-P19-advanced.md

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title: Volcanor 的新年模拟卷 P19 的加强结论
createTime: 2026/1/7
categories:
    - study
tags:
    - maths
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:::theorem 命题
若正整数数列 $a_n$ 严格单调递增，记 $a_n^{(m)}$ 为 $a_n$ 的 $m$ 次复合，$T_n^{(m)} = \displaystyle \sum_{i=1}^{a_n^{(m)}} a_i$，则

$$
T_n^{(p-q)} + T_n^{(p+q)} \ge 2T_n^{(p)}
$$

在有意义时成立，且等号成立当且仅当 $q=0$ 或 $a_n=n$[+Volcanor-dont-understand-1]。

[+Volcanor-dont-understand-1]: 它并不表示 $a_n$ 的通项，只说明 $n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的不动点。

:::

由 $a_{n+1} - a_n \ge 1$ 累加得 $a_m - a_n \ge m - n$，于是 $a_n^{(p+1)}-a_n^{(p)} \ge a_n^{(p)} - a_n^{(p-1)}$，累加得 $a_n^{(p+q)}-a_n^{(p)} \ge a_n^{(p)} - a_n^{(p-q)}$[+Volcanor-dont-understand-2]。

[+Volcanor-dont-understand-2]:
    $$
    \begin{aligned}
    \text{let } u_p = a_n^{(p)}, \\

    u_{p+1} - u_{p} &\ge u_{p} - u_{p-1} \\
    u_{p+2} - u_{p+1} &\ge u_{p-1} - u_{p-2} \\
    &\ \ \vdots \\
    u_{p+q} - u_{p+q-1} &\ge u_{p-q+1} - u_{p-q} \\
    &\,\Downarrow \\
    u_{p+q} - u_p &\ge u_p - u_{p-q}
    \end{aligned}
    $$

于是 $\displaystyle \sum_{i=a_n^{(p)}+1}^{a_n^{(p+q)}} a_i\ge \sum_{i=a_n^{(p-q)}+1}^{a_n^{(p)}} a_i$，即 $T_n^{(p+q)} - T_n^{(p)} \ge T_n^{(p)} - T_n^{(p-q)}$。

等号成立当且仅当求和上下限分别相等，即 $a_n^{(p-q)} = a_n^{(p)} = a_n^{(p+q)}$。若 $a_n=n$，则 $a_n^{(m)} = n$，满足；否则 $a_n>n$，于是 $a_n^{m}$ 关于 $m$ 单调递增，于是 $q=0$。