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title: 为什么磁场中导体棒达不到匀速啊？旮旯高中里面根本不是这样的
createTime: 2026/1/13
categories:
  - study
tags:
  - physics
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在磁场中受恒力 $F$ 的质量为 $m$ 的导体棒在总电阻为 $R$ 的回路中切割磁感线运动，有

$$
m \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = ma = F - \dfrac{B^2 L^2 v}{R}
$$

分离变量，

$$
\dfrac{m R \mathrm{d}v}{FR-B^2L^2v} = \mathrm{d} t
$$

两边积分即得

$$
-\dfrac{mR}{B^2L^2} \ln(FR - B^2L^2v) = t + C_1
$$

即

$$
v = \dfrac{1}{B^2L^2} \left[ FR - \exp\left(-\dfrac{mR(t+C_1)}{B^2L^2}\right) \right]
$$

或者

$$
v = \dfrac{FR}{B^2L^2} + C \exp\left(-\dfrac{mR}{B^2L^2} t\right)
$$

记 $v_{\infty} = \dfrac{FR}{B^2L^2}$。$C=0$，即 $v = v_{\infty}$ 时导体棒做匀速直线运动，否则 $|v - v_{\infty}|$ 成指数衰减，但是理想状态下永远不可能达到匀速。

由此可见，高中讲的“达到匀速”充其量只能算是对 $t \to +\infty$ 时 $v \to v_{\infty}$ 的近似，当然因为指数衰减，这个近似也比较准确。