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FFMP-20260101-5.md

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title: ATTII P5
createTime: 2026/1/1
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*流萤正在严肃学习数学选择性必修一, 但是发现试卷上全是对合题. 所以, 开拓者出了一道加强版来~~恶心~~考考喜欢对合的孩子.*

已知 $n$ 次多项式函数 $P(t), Q(t), R(t)$, 它们的 $i$ 次项系数分别为 $p_i, q_i, r_i$.

当 $t \in \mathbb{R}$ 时, $\left( \dfrac{P(t)}{R(t)}, \dfrac{Q(t)}{R(t)} \right)$ 的轨迹为 $\varGamma$. $l: Ax+By+C=0$ 与 $\varGamma$ 交于 $n$ 个互异的点, 它们对应的 $t$ 值 $t_1, t_2, \dots, t_n$ 组成集合 $T$.

若存在不全为零的 $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n$ 满足
$\displaystyle\sum_{S \subseteq T} \alpha_{|S|} \prod_{t \in S} t = 0$
且 $\displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \alpha_i r_{n-i} \ne 0$,

(1) $n=2$ 时, 证明: $l$ 过定点;

(2) $n\in\mathbb{N}^*$ 时, 证明: $l$ 过定点.

*注:  $\displaystyle\sum_{S\subseteq T}$ 表示对 $T$ 的所有子集 $S$ 求和. $\displaystyle\prod_{t \in S} t$ 表示 $S$ 中的元素之积, 特别地, $\displaystyle\prod_{t \in \emptyset} t = 1$.*