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FFMP-20260101-6.md

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title: ATTII P6
createTime: 2026/1/1
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*流萤正在严肃学习生物必修二.*

设集合 $S=\{\texttt{A}, \texttt{T}, \texttt{G}, \texttt{C}\}$, $D$ 为所有 $S$ 中的元素组成的长度为 $n$ 的序列的集合.

对于 $E, F \in D$, 定义距离 $d(E,F)$ 为它们不同的项的个数.

对于一个 $E \in D$ 和 $r \in \mathbb{N}$, 定义 $B_r(E) = \{F \mid d(E,F)\le r\}$.

(1) 对于 $1\le r \le n, r \in \mathbb{N}^*$, 求 $|B_{r}(E)| - |B_{r-1}(E)|$ 的值.

(2) 记 $b_r = |B_{r}(G)|$, 从 $D$ 中有放回、等概率地随机抽取 $m$ 个元素 $E_1, E_2, \dots, E_m$,  
求 $|B_r(E_1) \cap B_r(E_2) \cap \dots \cap B_r(E_m)|$ 的数学期望(保留 $b_r$).

(3) 有 $a \in \mathbb{N}^*$ 和 $D$ 中的元素组成 $m$ 项序列 $E_1, E_2, \dots, E_m$, 若 $\biggl\{F \in D \biggm\vert \displaystyle\sum_{i=1}^{m} d(E_i, F) = a \biggr\} = D$,  
求满足条件的方案数. 两种方案 $a, \{E_i\}$ 和 $a', \{E_i'\}$ 不同当且仅当 $a \ne a'$ 或 $\exists 1{\le} i{\le} m, E_i \ne E_i'$.