Phantom Bird

外观

题解：拾起砂糖的祭典（新）

约 367 字大约 1 分钟

mathsFFMP

2026-3-13

恰好一年之后喜提加强。

之前的过程见这里，我们已经证明了 p≤∏k=1nk2knn2p \le \dfrac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n} k^{2k}}{n^{n^2}}，下面主要来证明

p≤nn2exp⁡(1−n24)p \le \frac{\sqrt{n^n}}{2} \exp\left( 1-\frac{n^2}{4} \right)

  • n=1n=1 时，p≤1<e3/42=nn2exp⁡(1−n24)p \le 1 < \dfrac{\mathrm{e}^{3/4}}{2} = \dfrac{\sqrt{n^n}}{2} \exp\left( 1-\dfrac{n^2}{4} \right)，这是因为 e3>(83)3=51227>51232=16\mathrm{e}^3 > \left( \dfrac{8}{3} \right)^3 = \dfrac{512}{27} > \dfrac{512}{32} = 16；
  • n=2n=2 时，p≤1=nn2exp⁡(1−n24)p \le 1 = \dfrac{\sqrt{n^n}}{2} \exp\left( 1-\dfrac{n^2}{4} \right)。

对于 n≥3n\ge 3 的情形，可由 n=2n=2 情形递推证明如下：

两边取对数，即证

2∑k=1nkln⁡k≤n2ln⁡n+nln⁡n−n24+1−ln⁡22\sum_{k=1}^{n} k\ln k \le n^2 \ln n + n \ln n - \frac{n^2}{4} + 1 - \ln 2

不难发现 LHS∣n=2≤RHS∣n=2\mathrm{LHS}|_{n=2} \le \mathrm{RHS}|_{n=2}，两边差分，只需证 n≥3n\ge 3 时

2nln⁡n≤n2ln⁡n+nln⁡n−n24−(n−1)2ln⁡(n−1)−(n−1)ln⁡(n−1)+(n−1)242 n \ln n \le n^2 \ln n + n \ln n - \frac{n^2}{4} - (n-1)^2 \ln (n-1) - (n-1) \ln (n-1) + \frac{(n-1)^2}{4}

两边作差，设

n2ln⁡n−nln⁡n−n24−(n−1)2ln⁡(n−1)−(n−1)ln⁡(n−1)+(n−1)24n^{2}\ln n-n\ln n-\frac{n^{2}}{4}-(n-1)^{2}\ln(n-1)-(n-1)\ln(n-1)+\frac{(n-1)^{2}}{4}

暴力展开后合并同类项，即为

=n2ln⁡nn−1+nln⁡n−1n+1−2n4≥n2(1−n−1n)+n(1−nn−1)+1−2n4=n2−1n−1−34≥32−12−34=14>0\begin{align*} &\mathrel{\phantom{=}} n^{2}\ln\frac{n}{n-1}+n\ln\frac{n-1}{n}+\frac{1-2n}{4} \\ &\ge n^{2}\left(1-\frac{n-1}{n}\right)+n\left(1-\frac{n}{n-1}\right)+\frac{1-2n}{4} \\ &= \frac{n}{2}-\frac{1}{n-1}-\frac{3}{4} \\ &\ge \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} > 0 \end{align*}

得证。

版权归属：Phantom-Bird

许可证：署名-非商业性-相同方式共享 4.0 国际 (CC-BY-NC-SA-4.0)