有一种被知识污染过的感觉——试做广东二调

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2025-12-20

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已知函数 $f(x) = (x-3) \mathrm{e}^x - \dfrac{1}{2}ax^2 + 2ax + 3a, a \in \mathbb{R}$ 。

当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程；
若 $1 < a < \dfrac{\mathrm{e}^2}{5}$ ，证明：函数 $f(x)$ 有三个零点；
当 $a>1$ 时，对任意的 $x_n < 0\ (n \in \mathbb{N}^*)$ ，满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i = -\dfrac{1}{2}$ ，
证明 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i) < (3n-1)(a-1)$ 。

分析

直接求导即可。
先求导发现 $f'(x) = \mathrm{e}^x+(x-3)\mathrm{e}^x - ax + 2a = (x-2)(\mathrm{e}^x-a)$ ，
于是两个极值点是显然的 $\ln a, 2$ 。 $\ln a < 2$ 是显而易见的。
用零点存在性定理证明每个单调区间各有一个零点即可。
一眼琴生，但是用高考范围内的知识推不出二阶导符号和凸性的联系，怎么办呢？
所以说我被知识诅咒了。
考虑放成多项式函数，注意 $\mathrm{e}^x$ 和 $x+1$ 的大小关系，这几乎告诉我们不能放成二次（方向不对）。
然后开始豪赌了，放成一次 $g(x) = xf'(x)+f(0) = (2x+3)(a-1)$ 如何？
此时 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} g(x_i) = n g\left( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \right) = n g\left( -\dfrac{1}{2n} \right) = n\left(3-\dfrac{2}{2n}\right)(a-1) = (3n-1)(a-1)$ 。
不禁感叹这个放缩松得要死，但其实早有迹象：当 $n$ 很大的时候 $x_i$ 必然趋于零。
另外高考范围内很少出现很强的放缩。看那个证明负数小于正数的命题事故就知道了。

问题

椭圆 $\Gamma: x^2+\dfrac{y^2}{16}=1$ ， $M,N$ 分别在直线 $y=2x,y=-2x$ 上，与坐标原点 $O$ 、 $\Gamma$ 上一点 $P$ 构成 $▱MONP$ 。

分析

依旧仿射结论拼拼乐，甚至不愿意夹点别的。

既然是仿射结论拼拼乐，那我们换基底呗。
两直线的方向向量 $\mathbf{u} = (1,2), \mathbf{v} = (-1, 2)$ ，可设 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = \lambda\mathbf{u} + \mu\mathbf{v}$ 。
将 $P(\lambda - \mu, 2(\lambda + \mu))$ 代入方程，解完 $\lambda, \mu$ 关系代入 $|MN|^2 = (\lambda\mathbf{u} - \mu\mathbf{v})^2$ 即可。
$S_{▱MONP} = |\lambda\mathbf{u}| |\mu\mathbf{v}| \sin \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \propto |\lambda \mu|$ ，然后就是均值不等式。
显然的点差，甚至不愿意遮掩一下。

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