Phantom Bird

外观

一个离奇的圆锥曲线性质

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maths

2025-12-11

离心率为 ee 的圆锥曲线 CC 主轴（长轴/实轴）上的一个顶点为 AA，主轴上有一点 MM，动直线 PQPQ 过 MM 交 CC 于 P,QP, Q，设 △APQ\triangle APQ 的重心、垂心、外心轨迹分别为 G,H,OG, H, O，则 G,H;O,CG, H; O, C 四个圆锥曲线中心的交比为 1−e221-\dfrac{e^2}{2}。

以及：

图

问题

双曲线 Γ:x2−y23=1\Gamma: x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1 的左顶点为 AA，xx 轴上有一个不在 Γ\Gamma 上的点 MM，A,BA, B 在 Γ\Gamma 上且 ABAB 过 MM。设 △ABC\triangle ABC 的重心、垂心、外心 G,H,QG,H,Q 的轨迹的对称中心分别为 G,H,Q\mathscr{G,H,Q}，Γ\Gamma 上有对径点 S,TS, T，SG,THS\mathscr{G}, T\mathscr{H} 交于 RR，求证 STRQSTR\mathscr{Q} 是平行四边形。

爆算罢（无慈悲）。

G

设 M(m,0),BC:x=ty+mM(m,0), BC: x=ty+m，联立得

(3t2−1)y2+6tmy+3m2−3=0\left(3t^2-1\right)y^2 + 6tmy + 3m^2-3 = 0

PhantomBird 从不判断 aa 和 Δ\Delta，直接韦达得 y1+y2=6tm1−3t2,y1y2y_1+y_2 = \dfrac{6tm}{1-3t^2}, y_1 y_2 用不着，

则有

G(x1+x2−13,y1+y23)=(3t2+2m−13−9t2,2tm1−3t2)G\left(\dfrac{x_1+x_2-1}{3}, \dfrac{y_1+y_2}{3}\right) = \left(\frac{3t^{2}+2m-1}{3-9t^{2}}, \frac{2tm}{1-3t^{2}} \right)

虽然方程不好找，但是对称中心好找啊，由对称性它与 xx 轴的两个交点是对径点。

由 y=0y = 0 有 t=0t=0 或 t→∞t \to \infty，分别代入得 2m−13,−13\dfrac{2m-1}{3}, -\dfrac{1}{3}，于是 G(m−13,0)\mathscr{G}\left(\dfrac{m-1}{3}, 0\right)。

Q

曲线系：

⊙(ABC): (ty+m−x)(−ty−1−x)+λ(3x2−y2−3)= (3λ+1)x2−(λ+t2)y2+(1−m)x−(mt+t)y−3λ−m\begin{align*} \odot(ABC): &\ (ty+m-x)(-ty-1-x) + \lambda \left( 3 x^2 - y^2 - 3 \right) \\ =&\ (3\lambda+1)x^2 - (\lambda+t^2)y^2 + (1-m)x - (mt+t)y - 3\lambda-m \end{align*}

于是 λ=−1+t24\lambda = -\dfrac{1 + t^2}{4}，直接套配方公式可得外心

Q(−1−m2(3λ+1),−mt+t2(λ+t2))=(2(m−1)1−3t2,2t(m+1)1−3t2)Q\left(-\frac{1-m}{2(3\lambda+1)}, -\frac{mt+t}{2(\lambda+t^2)}\right) = \left(\frac{2(m-1)}{1-3t^2}, \frac{2t(m+1)}{1-3t^2}\right)

由 y=0y = 0 有 t=0t=0 或 t→∞t \to \infty，分别代入得 2m−2,02m-2, 0，于是 Q(m−1,0)\mathscr{Q}\left(m-1, 0\right)。

H

根据欧拉线定理，QH→=3QG→\overrightarrow{QH} = 3\overrightarrow{QG}，于是 QH→=3QG→\overrightarrow{\mathscr{QH}} = 3\overrightarrow{\mathscr{QG}}，则 H(1−m,0)\mathscr{H}\left(1-m, 0\right)。

R

注意到 G,H;Q,O\mathscr{G,H;Q},O 是调和点列，所以 TS//QRTS \mathbin{/\kern{-0.3em}/} \mathscr{Q}R，而 H,Q\mathscr{H, Q} 是对径点，于是 QS//HT\mathscr{Q}S \mathbin{/\kern{-0.3em}/} \mathscr{H}T，证毕。

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