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LMaple小枫. 高中数学选必一 自制试题 T19 简要解答

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maths

2025-12-6

来源 @LMaple小枫.

问题

19. 已知三棱锥 P−ABCP{-}ABC 满足 ∠BPC=α,∠APC=β,∠APB=γ\angle BPC = \alpha, \angle APC = \beta, \angle APB = \gamma。

（1）若 α=β=γ=π2,PA2+PB2+PC2=1\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{2}, PA^2+PB^2+PC^2=1，求 PP 到 ABCABC 距离的最大值。
（2）求二面角 B−AP−CB{-}AP{-}C 的余弦值。
（3）证明：−18<cos⁡αcos⁡βcos⁡γ<1-\dfrac{1}{8} < \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma < 1。

流感中招了，故仅略写。

解答（猜猜有多少过程分？）

（1）建系略。设 PA=a,PB=b,PC=cPA=a, PB=b, PC=c，则 ABC:xa+yb+zc=1ABC: \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1，代入距离公式：

d(P−ABC)=11a2+1b2+1c2=1(1a2+1b2+1c2)(a2+b2+c2)≤13(柯西不等式)d(P{-}ABC) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right)(a^2+b^2+c^2)}} \le \frac{1}{3} \qquad(\text{柯西不等式})

（2）经典三面角余弦定理。作两条垂线，用两次余弦定理，然后暴力化简即得答案 cos⁡α−cos⁡βcos⁡γsin⁡βsin⁡γ\dfrac{\cos\alpha - \cos\beta \cos\gamma}{\sin\beta \sin\gamma}。

（3）上界显然，下证下界。不妨设 0<α≤β≤γ<π0 < \alpha \le \beta \le \gamma < \pi，有 α+β−γ>0①, α+β+γ<2π②\alpha+\beta-\gamma>0 ①,\ \alpha+\beta+\gamma<2\pi ②。

由 cos⁡αcos⁡βcos⁡γ<0\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma < 0 分类讨论：

  1. 若 α,β<π2,γ>π2\alpha,\beta<\dfrac{\pi}{2}, \gamma > \dfrac{\pi}{2}：设 γ′=π−γ\gamma' = \pi - \gamma，由①得 α+β+γ′>π\alpha + \beta + \gamma' > \pi，结合 0<α,β,γ′<π20 < \alpha,\beta, \gamma' < \dfrac{\pi}{2} 可得

cos⁡αcos⁡βcos⁡γ′≤(cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ′3)3≤cos⁡3(α+β+γ′3)<cos⁡3(π3)=18(琴生不等式)\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma' \le \left(\dfrac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma'}{3}\right)^3 \le \cos^3\left(\dfrac{\alpha+\beta+\gamma'}{3}\right) < \cos^3\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{8} \quad(\text{琴生不等式})

因此 cos⁡αcos⁡βcos⁡γ=−cos⁡αcos⁡βcos⁡γ′>−18\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma = -\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma' > -\dfrac{1}{8}。

  1. 若 α,β,γ>π2\alpha,\beta,\gamma > \dfrac{\pi}{2}，设 α′=π−α,β′=π−β,γ′=π−γ\alpha'=\pi-\alpha, \beta'=\pi-\beta, \gamma' = \pi - \gamma，由②得 α′+β′+γ′>π\alpha' + \beta' + \gamma' > \pi 且 0<α′,β′,γ′<π20 < \alpha',\beta', \gamma' < \dfrac{\pi}{2}，

    由上同理 cos⁡αcos⁡βcos⁡γ=−cos⁡α′cos⁡β′cos⁡γ′>−18\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma = -\cos\alpha' \cos\beta' \cos \gamma' > -\dfrac{1}{8}。

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