问题

$P(x,y)$ 到 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$ 距离的乘积为 $8$，$P$ 的轨迹为 $\Gamma$，$\Gamma$ 交 $x$ 轴于 $M,N$。

（1）求 $\Gamma$ 的方程；
（2）求 $\triangle PMN$ 周长的取值范围；
（3）过 $P$ 的直线 $l$ 交 $y=\pm x$ 于 $A,B$ 且 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}\ (\lambda>1)$，若 $\triangle OAB$ 的面积为 $18$，求 $\lambda$ 的最小值。

1

$$\begin{align*} |PF_1| \cdot |PF_2| - 64 &= ((x-2)^2+y^2)((x+2)^2+y^2) - 64 \\ &= (x^2+y^2+4)^2-16x^2-64 = 0 \end{align*}$$

化成这样已经够之后的小问用了。
当然不会配方也没有关系，只要发现只有平方项就能做。

2

代入 $y=0$ 得 $M,N$ 横坐标 $x=\pm 2\sqrt{3}$，
设 $C_{\triangle PMN} = 2a + 4\sqrt{3} \ (a>2\sqrt{3})$，则 $P$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2-12}=1$ 上。

设 $s=x^2+y^2, t=x^2, u=a^2(u>12)$，两方程可分别变形成

$$\begin{cases} u s - 12 t = u (u-12) & (1) \\ (s+4)^2 - 16 t = 64 & (2) \end{cases}$$

$3(2) - 4(1)$ 消去 $t$ 得 $3s^2 + 4(6-u) s + 4(u^2-12u-36) = 0$，

于是 $\Delta = 16 \bigl( (6-u)^2 - 3(u^2-12u-36) \bigr) = -32(u^2-12u-72) \ge 0$。

因为 $\Delta=0$ 时 $u = -6 \pm 6\sqrt{3}$，所以 $u \in \left( 12, 6+6\sqrt{3} \right]$，
于是 $C_{\triangle PMN} \in \Bigl( 8\sqrt{3}, 4\sqrt{3} + 2\sqrt{6+6\sqrt{3}} \Bigr]$。

3

思路来自 GooodPig，我将其进行了严谨化。

先证 $\lambda$ 和 $x^2 - y^2$ 的关系。

过 $P$ 分别作直线 $y = \pm x$ 的垂线，垂足为 $H, I$。

由题意 $P$ 一定在 $A, B$ 之间，于是

$$\dfrac{|OI|}{|IB|} = \dfrac{|AH|}{|OH|} = \lambda \Longrightarrow \dfrac{|PH|}{|OB|} \cdot \dfrac{|PI|}{|OA|} = \dfrac{\lambda}{(\lambda+1)^2}$$

另一方面，$|PI| \cdot |PH| = \dfrac{|x+y|}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{|x-y|}{\sqrt{2}} = \dfrac{|x^2 - y^2|}{2}$，而 $|OB| \cdot |OA| = 2S_{\triangle OAB} = 36$，

设 $k = x^2 - y^2$，则 $|k| = \dfrac{72 \lambda}{(\lambda+1)^2}$ 在 $\lambda > 1$ 时单调递减，只需求 $|k|$ 的最大值即可。

沿用上一问的 $t=x^2$，方程可表示为

$$f(t) = 4t^2 - 4kt + (k^2 - 8k - 48) = 0 \quad(t \ge k, t \ge 0)$$

对称轴为 $t=\dfrac{k}{2} \le \max\{k,0\}$，故 $f(t)$ 在定义域内单调递增，于是 $f(\max\{0,k\}) \le 0$。

注意到 $f(0)=f(k)=k^2-8k-48$，令其 $\le 0$ 解得 $k \in [-4, 12]$。

代入 $|k|_{\max} = 12$ 即得 $\lambda_{\min} = 2 + \sqrt{3}$。

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