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为什么期望可加性不用考虑是否独立？

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mathsstudy-note

2025-10-29

简单的求和换序，但是很多人不会，故水一篇。这样之后再用就不会心慌了。

另外，本篇的随机变量默认为离散型随机变量。变为连续型只需将求和变为积分。

首先我们有全概率公式：

全概率公式

对于两个随机变量 X,YX, Y，有

P(X=x)=∑yP(X=x∧Y=y)\providecommand{\Prob}[0]{\mathbb{P}} \Prob(X=x) = \sum_{y} \Prob(X=x \land Y=y)

这是由互斥事件的概率可加保证的。

借助这个公式，就可以证明期望可加性：

定理

对于两个随机变量 X,YX, Y，有

E[X+Y]=E[X]+E[Y]\providecommand{\E}[0]{\mathbb{E}} \E[X+Y] = \E[X] + \E[Y]

证明

E[X+Y]=∑x∑y(x+y)P(X=x∧Y=y)=[∑xx∑yP(X=x∧Y=y)]+[∑yy∑xP(X=x∧Y=y)]=[∑xxP(X=x)]+[∑yyP(Y=y)]=E[X]+E[Y]\providecommand{\E}[0]{\mathbb{E}} \providecommand{\Prob}[0]{\mathbb{P}} \begin{align*} \E[X+Y] &= \sum_{x} \sum_{y} (x+y) \Prob(X=x \land Y=y) \\ &= \biggl[ \sum_{x} x \sum_{y} \Prob(X=x \land Y=y) \biggr] + \biggl[ \sum_{y} y \sum_{x} \Prob(X=x \land Y=y) \biggr] \\ &= \biggl[ \sum_{x} x \Prob(X=x) \biggr] + \biggl[ \sum_{y} y \Prob(Y=y) \biggr] \\ &= \E[X] + \E[Y] \end{align*}

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