题目来源

LMaple 小枫.

1

题目

已知实数 $a>b>c$，且 $a+b+c = a^2+b^2+c^2 = 1$，则 $a+b$ 的取值范围是______.

注意到方程是空间中圆的方程（一个球面与一个平面的交）。

分别代入 $a>b=c,\ a=b>c$ 得到两个（取不到的）端点 $(1,0,0), \left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3} \right)$。

将圆投影到 $aOb$ 平面画图可知单调性，则 $a+b$ 的取值范围为 $\left(1, \dfrac{4}{3}\right)$。

2

题目

在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，且 $4a\cos A = a+b$，则角 $A$ 的取值范围是______.

小枫还是没有忘记他的三倍角公式注意力题。

全部化成 $\sin$ 并移项得

$$\sin B = 4 \sin A - 3 \sin^3 A = \sin(3A)$$

在锐角三角形中，$A,B,\pi-A-B < \dfrac{\pi}{2}$，

若 $B=3A$，则 $\dfrac{\pi}{8} < A < \dfrac{\pi}{6}$；

若 $B+3A = \pi$，则 $\dfrac{\pi}{6} < A < \dfrac{\pi}{4}$。

于是 $A$ 的取值范围为 $\left( \dfrac{\pi}{8}, \dfrac{\pi}{6} \right) \cup \left( \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4} \right)$。

3

题目

已知圆 $O$ 半径为 $1$，$A,B,C,D$ 为圆 $O$ 上四点，$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| = 1$，则 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BD}$ 的最大值为______.

显然 $\angle AOB = \angle COD = \dfrac{\pi}{3}$，设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ 分别为 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}$，

$$\begin{align*} &\phantom{=\ \ }\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BD} \\ &= (\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{c}-\vec{b}) \cdot (\vec{d}-\vec{b}) \\ &= \vec{c}\cdot\vec{d} - \vec{a}\cdot\vec{d} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a}^2 + \vec{c}\cdot\vec{d} - \vec{b}\cdot\vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b}^2 \\ &= 3 - (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{c} + \vec{d}) \\ &\le 3 + \bigl|\vec{a} + \vec{b}\bigr|\ \bigl|\vec{c} + \vec{d}\bigr| = 3 + \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6 \end{align*}$$

4

题目

设 $f(x)$ 为初等函数，且其导函数与反函数相等，则 $f(x)$ 的解析式为______.

考虑到多个初等函数的和的反函数有复杂根式（一些多项式函数）或不初等（其他情况），此处只考虑只有一项的。容易知道它一定是幂函数。

设 $f(x) = a x^m$，则 $f^{-1}(x) = \dfrac{x^{1/m}}{a^{1/m}},\ f'(x)=amx^{m-1}$，于是

$$\begin{cases} \dfrac{1}{m} = m-1 \\[0.3em] \dfrac{1}{a^{1/m}} = am \end{cases}$$

$\alpha$ 次函数的导函数为 $\alpha - 1$ 次的，而反函数为 $\dfrac{1}{\alpha}$ 次的，于是 $\alpha-1 = \dfrac{1}{a}$，解得 $\alpha_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \alpha_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$。

唯一的实数解为

$$\begin{cases} a = \left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{(\sqrt{5}-1)/2}\\[0.3em] m = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\\ \end{cases}$$

即 $f(x) = \left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{(\sqrt{5}-1)/2} x^{(\sqrt{5}+1)/2}$。

5

题目

关于 $x$ 的方程 $\cos^2(\pi x) = \cos(\pi x^2)$ 在 $[0, 100]$ 上解的个数为______.

画图发现 $\cos(\pi x^2)$ 在除了 $[0,1]$ 交两次之外，$[0,100]$ 上的每个单调区间和 $\cos^2(\pi x)$ 有一个交点。

因为 $\cos x$ 每个单调区间长度为 $\pi$，所以 $\cos(\pi x^2)$ 在 $[0,100]$ 上有 $10000$ 个单调区间。

若两个单调区间共用一个解，有 $\cos(\pi x^2) = \cos^2(\pi x) = 1$，得 $x$ 为偶数，区间中有 $51$ 个偶数，其中有 $49$ 个是共用的。

因此 $10000 - 49 + 1 = 9952$ 个。

6

题目

已知正实数 $x,y,z$ 满足

$$\begin{cases} \begin{align} &x^2+xy+y^2 = 1 \quad\\ &y^2+yz+z^2 = 2 \quad\\ &z^2+zx+x^2 = 3 \quad \end{align} \end{cases}$$

则 $x+y+z$ 的值为______.

$\text{(2)}-\text{(1)}, \text{(3)}-\text{(2)}$ 得

$$(z-x)(x+y+z) = (x-y)(x+y+z) = 1$$

于是 $2x=y+z$，消去 $x$ 得

$$z^2-y^2 = \dfrac{4}{3}$$

注意到

$$\begin{align*} &\ 3(y+z)^4 - 4(y^2+yz+z^2)(y+z)^2 + (z^2-y^2)^2 \\ =&\ 3(y+z)^4-8(y+z)^2+\frac{16}{9} = 0 \end{align*}$$

解得 $y+z = \pm \dfrac{2}{3} \sqrt{3 \pm \sqrt{6}}$。

画图发现对应的双曲线和椭圆在第一象限只有一个交点，且第一象限的交点的 $y+z$ 最大（即 $y+z = \dfrac{2}{3} \sqrt{3 + \sqrt{6}}$），故 $x+y+z = \sqrt{3 + \sqrt{6}}$。

7

题目

已知平面直角坐标系中，$A, B, C, D$ 四点共圆，直线 $AB, BC, CD$ 的斜率分别为 $1,2,3$，则直线 $AD$ 的斜率为______.

由四点共圆 $\dfrac{k-3}{1+3k} = \dfrac{1-2}{1+1\times2}$，于是 $k = \dfrac{4}{3}$。

8

题目

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2, a_2=3, a_3=4$，且 $a_{n+3} = 6a_{n+2} - 11a_{n+1} + 6a_n$，则 $\{a_n\}$ 的通项公式为______.

注意到若使

$$\begin{align*} b_n &= a_n-5a_{n-1}+6a_{n-2} \\ c_n &= a_n-4a_{n-1}+3a_{n-2} \\ d_n &= a_n-3a_{n-1}+2a_{n-2} \end{align*}$$

则有

$$\begin{align*} b_n &= (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) - 5a_{n-1} + 6a_{n-2} = b_{n-1} \\ c_n &= (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} = 2c_{n-1} \\ d_n &= (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) - 3a_{n-1} + 2a_{n-2} = 3d_{n-1} \end{align*}$$

由 $b_3=1, c_3=-2, d_3=-1$ 得 $b_n=1, c_n=-2^{n-2}, d_n=-3^{n-3}$。

于是

$$\begin{cases} a_n-5a_{n-1}+6a_{n-2} = 1 \\ a_n-4a_{n-1}+3a_{n-2} = -2^{n-2} \\ a_n-3a_{n-1}+2a_{n-2} = -3^{n-3} \end{cases}$$

解得 $a_n = \dfrac{3 \times 2^{n+1} - 3^n + 3}{6}$。

9

题目

已知正实数 $x,y,z$ 满足 $(2x)^{1/2} (3y)^{1/3} (6z)^{1/6} = 1$，则 $x+y+z$ 的最小值为______.

$$x+y+z = \dfrac{1}{2} \cdot 2x + \dfrac{1}{3} \cdot 3y + \dfrac{1}{4} \cdot 4z \ge \left( (2x)^{1/2} (3y)^{1/3} (4z)^{1/4} \right)^{\frac{1}{1/2+1/3+1/4}} = 1$$

10

题目

$x \in (0,1)$ 时，函数 $f(x) = \dfrac{1}{x} + \displaystyle\sum_{k=1}^{n} x^k$ 的最小值为 $m$，若 $\forall n \in \mathbb{N}$ 且 $n>1$，实数 $A$ 满足 $m<A$ 恒成立，则 $A$ 的最小值为______.

注意

原题目在 $n=1$ 时函数在定义域内没有最小值。此处令 $n>1$。

以下使用 $f_n(x)$ 区分不同 $n$ 下的 $f(x)$。

考察 $n \to +\infty$ 的行为，设 $f_{\infty}(x) = \displaystyle\lim_{n\to+\infty} f_n(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x}$，

由 $f_{\infty}'(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2} + \dfrac{1}{x^2}$ 可知 $\min f_{\infty}(x) = f_{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3$。

显然 $f_n(x) > f_{n-1}(x)$，于是 $\min f_n(x) > \min f_{n-1}(x)$，因此满足条件的最小 $A$ 恰为 $3$。