绝对值的 $\max$ 分解是指

$$|a| = \max\{a, -a\}.$$

相比于将含绝对值的不等式分解为两个不等式，这种分解方法更直接、更紧，且能更好地解决含绝对值的不等式问题。

例 1

2024.11.6 提出 $\max$ 分解时的例题。

问题

已知 ${\Large[}x^2+(m-2)x+ {\large|} x^2-(m+2)x+2 {\large|}{\Large]}_{\min} = 0$，求 $m$ 的取值范围。

解：

$~~~~x^2+(m-2)x+|x^2-(m+2)x+2|$
$=x^2+(m-2)x+\max\{x^2-(m+2)x+2, -[x^2-(m+2)x+2]\}$
$=\max\{x^2+(m-2)x+[x^2-(m+2)x+2], x^2+(m-2)x-[x^2-(m+2)x+2]\}$
$=\max\{2(x-1)^2, 2mx-2\}$

图象

由图象可知 $2m\times1-2\le0$，故 $m\in (-\infty, 1]$.

例 2

问题

若 $\forall m>0, m^2 + |m-a| \ge \dfrac{9}{4}$，求 $a$ 的取值范围。

解：$\forall m>0$，

$$\begin{align*} &\begin{aligned} m^2 + |m-a| &= m^2+\max\{m-a,a-m\} \\ &= \max\{m^2+m-a, m^2+a-m\} \ge \frac{9}{4}, \end{aligned} \\ \iff& m^2+m-a \ge \frac{9}{4} \text{ 或 } m^2+a-m \ge \frac{9}{4}, \\ \iff& a \ge -m^2+m+\dfrac{9}{4} \text{ 或 } a\le m^2+m-\dfrac{9}{4}. \end{align*}$$

画出 $a\text{-}m$ 图象如下（阴影部分为满足不等式的部分）：

图象

由于任意 $m>0$ 都要满足不等式，即一整条线 $a=a_0(m>0)$都要在区域之内。

于是符合要求的区域如下图红色部分：

图象

即 $a\le-\dfrac{9}{4}$ 或 $a\ge\dfrac{5}{2}$.