1

其实第一问是是废的，为啥呢，且看以下推导：

引理

对于 $\set{(x_i, y_i)} ~~ (1\le i\le n, \forall i\ne j, x_i\ne x_j)$，总存在一个连续函数使得 $y_i=f(x_i)$.

证明 注意到

$$f(x) = \sum_{1\le i\le n} y_i \prod_{j\ne i}^{1\le j\le n}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

符合条件。（其实就是插值而已）

定理

若有限集 $A_n \in \mathbb{R}$ 满足 $n\ge3, \min A_n>0$，则 $A_n$ 一定为 $[\min A_n, \max A_n]$ 的 $T$ 子集。

证明 取 $f(x)$ 为过 $\set{(a_1, a_2), (a_2, a_3), \dots, (a_n, a_1)}$ 的连续函数即可。（各字母含义见题意）

因此，函数连续的条件是不必要的；存在函数的条件甚至也是不必要的。

出卷老师大概也知道这一点，但是要是这么写的话估计得扣大分。应试时还是老老实实取 $f(x)=10-x$ 吧。

2

由于 $f$ 单调递减，$f$ 的对应关系一定形如 $a_k \longleftrightarrow a_{n+1-k}$，然而 $f$ 上无法实现这种对合。前人之述备矣。

由于犯糖 Bird 没看到单调性，我们来点不一样的，看看对于一般的函数，这道题怎么做。

为了让没打过 OI 的同学们也能了解一下，我忍着不用图论吧

由于 $A_n$ 是有限的，根据鸽巢原理，对 $a_i$ 施加足够多次 $f$ 之后，总会回到出现过的数，即出现循环。

由定义 $f(x)$ 一定存在反函数。这意味着 $f(a)$ 的循环节必定包含 $a$，否则 $a$ 会同时有两个前驱。

这意味着：$\forall a_i \in A_n, f^k(a_n)=a_n$，其中 $f^k(x)$ 表示 $k$ 次复合。

综上其实可以得出一个重要的结论（虽然在高中阶段没啥用）：

定理

对于有限集 $S$ 以及映射 $f: S \to S$，若 $f$ 的逆映射存在，$\forall x \in S, \exists k \in \mathbb{N}^*, f^k(x)=x$.

剩下的繁复过程

回到题目。函数 $f(x)$ 是单调递减的，与 $y=x$ 仅有一个交点 $(\ln2, \ln2)$. 这意味着：我们循环执行 $x \to f(x)$，它的值将在 $\ln2$ 左右反复横跳。

左右反复横跳至少表明复合奇数次是不会在除了 $\ln2$ 的地方以外相等的。那我们来研究下偶数次。

设 $g(x) = f(f(x)) = \ln\left(1+\dfrac{2}{1+2/e^{x}}\right)$，我们有

$$\begin{cases} x<g(x)<\ln2, &x<\ln2 \\ g(x)=\ln2, &x=\ln2 \\ \ln2<g(x)<x, &x>\ln2 \end{cases}$$

方法

设 $t=e^x>0$，只需比较 $1+\dfrac{2}{1+2/t}$ 与 $2, t$ 即可。

$x\ne\ln2$ 时，$g(x)$ 一定严格介于 $x$ 与 $\ln2$ 之间，自然无论复合多少次也不会相等。

3

根据 #1 证明的定理，找 $f$ 不是难事，只要构造 $A_n$ 即可。列列式子就能注意到了。