假设滴定引起浓度变化的速率恒定，可以列出方程

$$\begin{cases} c(\ce{H+}) - c(\ce{OH-}) = \Delta c_0 + vt \\ c(\ce{H+}) \cdot c(\ce{OH-}) = K_w \end{cases}$$

有非负解

$$c(\ce{H+}) = \dfrac{\Delta c_0 + vt + \sqrt{(\Delta c_0 + vt)^2 + 4K_w}}{2}$$

于是根据定义，

$$\text{pH} = -\lg \left( \dfrac{\Delta c_0 + vt + \sqrt{(\Delta c_0 + vt)^2 + 4K_w}}{2} \right)$$

将其求导，得

$$\providecommand\d{\mathrm{d}} \dfrac{\d\kern{1px} \text{pH}}{\d t} = -\dfrac{v}{\ln(10) \sqrt{(\Delta c_0 + vt)^2 + 4K_w}}$$

不难发现导函数有如下性质（不妨设 $v>0$，即酸滴碱）：

• 导函数关于 $t=-\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 对称
  这说明 $\text{pH}\text{-}t$ 图象关于中和点对称。

• $t < -\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 时，导函数的绝对值单调递增；$t > -\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 时，导函数绝对值单调递减
  这说明中和之前 $\text{pH}$ 的变化速度逐渐加快，中和之后 $\text{pH}$ 的变化速度逐渐减慢。

• $t = -\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 时，导函数取得最小值 $-\dfrac{v}{2\ln(10) \sqrt{K_w}}$
  说明中和时，$\text{pH}$ 的变化速度最大。
  由于 $\sqrt{K_w} \approx 10^{-7}$，因此此时导函数的绝对值可以非常大。