定理

椭圆 $\Gamma$ 内切 $\triangle ABC$ 于三边中点， $G$ 为 $\triangle ABC$ 重心，过 $G$ 的 $l$ 的平行（或重合）线交 $\Gamma$ 于 $P,Q$，设 $A_1, B_1, C_1, G_1$ 分别为 $A, B, C, G$ 在 $l$ 上的射影，则

$$9 PQ^2 \Bigl( AA_1^2 + BB_1^2 + CC_1^2 - 3 GG_1^2 \Bigr) = 8 S_{\triangle ABC}^2$$

证明

以下求和的 $\text{cyc}$ 均对 $A,B,C$ 轮换。

设 $\vec{n} \perp l, |\vec{n}|=1$，显然 $\displaystyle\sum_{\text{cyc}} \overrightarrow{AG} = 0$，于是

$$\begin{align*} \sum_{\text{cyc}} AA_1^2 &= \sum_\text{cyc}\left(\overrightarrow{AG} \cdot \vec{n} + \overrightarrow{GG_1}\cdot \vec{n}\right)^2 \\ &= \left[ \sum_\text{cyc}\left(\overrightarrow{AG}\cdot\vec{n}\right)^2 \right] + 2\left(\overrightarrow{GG_1}\cdot\vec{n}\right) \left( \vec{n} \cdot \sum_\text{cyc} \overrightarrow{AG} \right) + 3 |GG_1|^2 \\ &= \left[ \sum_\text{cyc}\left(\overrightarrow{AG}\cdot\vec{n}\right)^2 \right] + 3 GG_1^2 \end{align*}$$

原式等价于

$$8 S_{\triangle ABC}^2 = 9 \sum_\text{cyc} \left( PQ \left(\overrightarrow{AG} \cdot \vec{n}\right) \right)^2 = 36 \sum_\text{cyc} S_{\triangle APQ}^2$$

由于仿射变换面积比不变，不妨将 $\triangle ABC$ 变换成边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，此时有

$$\begin{align*} &\ \sum_\text{cyc} \left(\overrightarrow{AG} \cdot \vec{n}\right)^2 \\ =&\ \sum_{k=0}^{2} \cos^2 \left( \theta + \dfrac{k\pi}{3} \right) \\ =&\ \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2}\cos\left(2\theta+\frac{2k\pi}{3}\right) \\ =&\ \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \vec{e} \cdot \sum_\text{cyc} \overrightarrow{AG} = \frac{3}{2} \end{align*}$$

因为此时 $\Gamma$ 是 $\triangle ABC$ 的内切圆，代入 $S_{\triangle ABC} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}, PQ = 1$ 即证。