简单的求和换序，但是很多人不会，故水一篇。这样之后再用就不会心慌了。

另外，本篇的随机变量默认为离散型随机变量。变为连续型只需将求和变为积分。

首先我们有全概率公式：

全概率公式

对于两个随机变量 $X, Y$，有

$$\providecommand{\Prob}[0]{\mathbb{P}} \Prob(X=x) = \sum_{y} \Prob(X=x \land Y=y)$$

这是由互斥事件的概率可加保证的。

借助这个公式，就可以证明期望可加性：

定理

对于两个随机变量 $X, Y$，有

$$\providecommand{\E}[0]{\mathbb{E}} \E[X+Y] = \E[X] + \E[Y]$$

证明

$$\providecommand{\E}[0]{\mathbb{E}} \providecommand{\Prob}[0]{\mathbb{P}} \begin{align*} \E[X+Y] &= \sum_{x} \sum_{y} (x+y) \Prob(X=x \land Y=y) \\ &= \biggl[ \sum_{x} x \sum_{y} \Prob(X=x \land Y=y) \biggr] + \biggl[ \sum_{y} y \sum_{x} \Prob(X=x \land Y=y) \biggr] \\ &= \biggl[ \sum_{x} x \Prob(X=x) \biggr] + \biggl[ \sum_{y} y \Prob(Y=y) \biggr] \\ &= \E[X] + \E[Y] \end{align*}$$