已知 $f(x+y)=f(x)f(yf(x))$，求 $f(x)$

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$$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{y\to 0} {f(x+y)-f(x) \over y} \\ &= \lim_{y\to 0} {f(x)f(yf(x))-f(x) \over y} \\ &= f(x) \lim_{y\to 0} {f(yf(x))-1 \over y} \\ &= f(x) \lim_{y\to 0} {\left[f'(yf(x))f(x)\right]}\ \ \left({0\over 0} \text{型洛必达，上下同时对} y \text{求导}\right) \\ &= af^2(x) \\ \\ \text{记 } z&=f(x)\text{，则} \\ {\mathrm{d}z \over \mathrm{d}x}&=az^2 \\ {\mathrm{d}z \over z^2}&=a\mathrm{d}x \text{ 或 } z=0 \\ \int {\mathrm{d}z \over z^2}&=\int a\mathrm{d}x \text{ 或 } z=0 \\ -{1\over z}&=ax+C \text{ 或 } z=0 \\ \text{故 } f(x)&={1\over kx+b} \text{ 或 } f(x)=0 \\ \\ \text{由 } f(0+&0)=f(0)f(0f(0)) \\ f(0)&=0 \text{ 或 } 1 \\ \text{故 } f(x)&={1\over kx+1} \text{ 或 } f(x)=0 \text{，代入检验可知答案正确。} \\ \end{align*}$$

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注：原题有 $x, y \in \mathrm{R_+}$ 限制，不过大同小异。