1 数轴

1.1 两点间距离公式

设$A:a, B:b$
$AB=|a-b|$

2 绝对值

2.1 数值计算

定义： $|a|= \begin{cases} a & a>0 \\ 0 & a=0 \\ -a & a<0 \end{cases}$

2.1.1 绝对值 × 某数

(1) 若 $a\ge0$
$a|x| = |ax|$
(2) 若 $a\lt0$
$a|x| = -|ax|$

2.1.2 绝对值 = 某数

$\because$ $|x|=a$，
$\therefore x=a$ 或 $x=-a$ （$x+a=0$）

2.1.3 绝对值 + 绝对值 = 0

$\because |x| + |y|=0$
$\text{又}\because |x|\ge0, |y|\ge0$
$\therefore x=y=0$

2.1.4 绝对值 = 绝对值

$\because |x|=|y|$
$\therefore x=y$ 或 $x=-y$ （$x+y=0$）

2.1.5 拓展：零点分段法

注意：此方法只在走投无路的时候用。
食用提示：大家可以跳过这段，因为这部分又长又臭还不常用。
绝大部分的问题用上述方法和绝对值的几何意义就可以解决，但有时候，我们会遇到像$|2x|+|x+1|-|2x-1|=2$一样的无赖式子

1. 零点
   找零点很简单，只需要令绝对值里面的式子等于零就可以了。
   例如：

   1. $|2x|$
      零点：$2x=0$
      $x=0$

   2. $|x+1|$
      零点：$x+1=0$
      $x=-1$

   3. $|2x-1|$
      零点：$2x-1=0$
      $2x=1$
      $x=\frac{1}{2}$

2. 分段
   $n$ 个零点会分出 $(n+1)$ 段。
   注意分段要不要包括零点
   还是用那个例子，3个零点，分出了4段：

   1. $x\lt-1$
   2. $-1\le x\lt0$
   3. $0\le x\lt\frac{1}{2}$
   4. $\frac{1}{2}\le x$

3. 判断正负
   需要一些不等式的知识
   其实我们可以找个数代进去看看，还是要注意包不包括零点。当然，这种东西就不要写在答卷上啦！

举个栗子：
$-1\le x<0$
包括零点 $-1$，所以算到 $x+1$ 的时候要注意一下。
找个数：$-\frac{1}{2}$

1. $2x=2\times(-\frac{1}{2})=-1\lt0\Rightarrow 2x\lt0$
2. $x+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}>0\Rightarrow x+1\ge0$
   注意啦！这里包括零点，所以要加等于号!
3. $2x-1=2\times(-\frac{1}{2})-1=-2\Rightarrow 2x-1\lt0$

1. 刻在DNA里的绝对值化简

若 $-1\le x<0$
$2x<0, x+1\ge0, 2x-1<0$
$\therefore \text{原式}=-2x+x+1+2x-1=x$

• 小心有坑！
  相信看完上一段之后，有些小伙伴会兴奋起来：$x=2$ ! .
  .
  .
  .
  .
  .
  是吗？
  $-1\le x<0$ 感觉自己被抛弃了……
  没错！虽然这个结果很漂亮，但我们必须得：

不适，舍去

说实话，这个例子是我随便写的，真没想到这么好

现在，把这题做完吧。

答案：

$x=-4 \text{ 或 } x=\frac{2}{5}$

2.2 绝对值的几何意义

今天先不写了，明天再更吧，诶嘿

结果这个大鸽子从2022年1月7日一直鸽到2024