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数轴与动点知识手册

约 2007 字大约 7 分钟

2022-01-07

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## 1 数轴
### 1.1 两点间距离公式

> 设$A:a, B:b$  
> $AB=|a-b|$  

## 2 绝对值
### 2.1 数值计算
定义：
$|a|=\Big\{
\begin{array}{ll}
a  & a>0 \
0  & a=0 \
-a & a<0
\end{array}$

#### 2.1.1 绝对值 × 某数
> (1) 若 $a\ge0$  
> $a|x| = |ax|$  
> (2) 若 $a\lt0$  
> $a|x| = -|ax|$  

#### 2.1.2 绝对值 = 某数
> $\because$ $|x|=a$，   
> $\therefore x=a$ 或 $x=-a$ （$x+a=0$）  

#### 2.1.3 绝对值 + 绝对值 = 0
> $\because |x| + |y|=0$  
> $又\because |x|\ge0, |y|\ge0$  
> $\therefore x=y=0$ 

#### 2.1.4 绝对值 = 绝对值
> $\because |x|=|y|$  
> $\therefore x=y$ 或 $x=-y$ （$x+y=0$）  

#### 2.1.5 拓展：零点分段法
**注意：此方法只在走投无路的时候用。**  
**食用提示：大家可以[跳过这段](#)，因为这部分~~又长又臭~~还不常用。**  
绝大部分的问题用[上述方法](#21-数值计算)和<a href="#2.2">绝对值的几何意义</a>就可以解决，但有时候，我们会遇到像$|2x|+|x+1|-|2x-1|=2$一样的无赖式子  
1. 零点  
    找零点很简单，只需要令绝对值里面的式子等于零就可以了。  
    例如：  
    1. > $|2x|$  
        $零点：2x=0$  
        $x=0$
    2. > $|x+1|$  
        零点：$x+1=0$  
        $x=-1$  
    3. > $|2x-1|$  
        零点：$2x-1=0$  
        $2x=1$  
        $x=\frac{1}{2}$  

2. 分段  
    $n$ 个零点会分出 $(n+1)$ 段。  
    **注意分段要不要包括零点**  
    还是用那个例子，3个零点，分出了4段：  
    1. $x\lt-1$
    2. $-1\le x\lt0$
    3. $0\le x\lt\frac{1}{2}$
    4. $\frac{1}{2}\le x$
3. 判断正负  
    ~~需要一些不等式的知识~~  
    其实我们可以找个数代进去看看，**还是要注意包不包括零点**。当然，这种东西就不要写在答卷上啦！  
> 举个栗子：  
> $-1\le x<0$  
> 包括零点 $-1$，所以算到 $x+1$ 的时候要注意一下。  
> 找个数：$-\frac{1}{2}$  
> 1. $2x=2\times(-\frac{1}{2})=-1\lt0\rightarrow 2x\lt0$
> 2. $x+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}>0\rightarrow x+1\ge0$  
   **注意啦！这里包括零点，所以要加等于号!**
> 3. $2x-1=2\times(-\frac{1}{2})-1=-2\rightarrow 2x-1\lt0$

1. 刻在DNA里的绝对值化简  

> 若 $-1\le x<0$  
> $2x<0, x+1\ge0, 2x-1<0$  
> $\therefore 原式=-2x+x+1+2x-1=x$  

- 小心有坑！  
  相信看完上一段之后，有些小伙伴会兴奋起来：$x=2$ ! 
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是吗？  
$-1\le x<0$ 感觉自己被抛弃了……  
没错！虽然这个结果很漂亮，但我们必须得：  
<span style="font-size: 36px">不适，舍去</span>  
<span style="color: lightgrey">说实话，这个例子是我随便写的，真没想到这么好</span>  

现在，把这题做完吧。用鼠标划下一行显示答案：  

<span style="color: white">$x=-4或x=\frac{2}{5}$</span>

### 2.2 绝对值的几何意义
今天先不写了，明天再更吧，诶嘿