阅读材料，回答问题：

定义 $S=\set{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid x_i^2=1, i=1, 2, \cdots, n}$ 为 $n$ 维标准立方体的顶点集。
若把 $(x_1, x_2, ..., x_n)\in S$ 其中某 $k$ 个数变成 $0$，就得到了它的一个 $k$ 维侧面的中心。如果把这个中心的 $0$ 任意地换成 $\pm1$，就得到了这个侧面上的顶点。
如 $2$ 维标准立方体的一个 $1$ 维侧面的中心是 $(1, 0)$，该侧面上的顶点集是 $\set{(1, 1), (1, -1)}$.

（1）写出 $3$ 维标准立方体的一个 $2$ 维侧面的顶点集；
（2）求 $S$ 的 $k$ 维侧面的数量；
（3）设 $F$ 是由 $S$ 的所有 $k$ 维侧面顶点集组成的集合，若 $T\subseteq F$ 且 $\forall A, B\in T, A\cap B=\emptyset$，求 $|T|_{\max}$.

答案

（1）示例：$\set{(1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, -1)}$ （答案不唯一）
（2）
由于侧面与它的中心一一对应，因此计算中心的数量即可。
在 $n$ 个数中选 $k$ 个变为 $0$，共有 $C^k_n$ 种选法；
剩下 $n-k$ 位，每一位都能取 $\pm1$ 中的任意一个，共有 $2^{n-k}$ 种选法； 因此共有 $2^{n-k}C^k_n$ 种选法。
（3）
$n$ 维立方体共有 $2^n$ 个顶点，而每个 $k$ 维侧面占用 $2^k$ 个顶点，故有不超过 ${2^n\over2^k}=2^{n-k}$ 个不共点的侧面。
注意到当中心取 $\set{(x_1, x_2, \cdots, x_{n-k}, 0, 0, \cdots, 0)|x_i^2=1, i=1, 2, \cdots, n-k}$ 的时候，能取到 $2^{n-k}$ 个侧面。由于非 $0$ 的部分不同，因此将 $0$ 任意地换成 $\pm1$ 之后也不会相同，因此任意两个侧面不共点。
所以 $|T|_{\max} = 2^{n-k}$.