“时间是不可战胜的……”T那嚣张的话语依然在P耳边回响。
“人类的命运，始终只能由自己掌控。”P如是说。
如今，T已经永久地消失在了时间长河中，无论是过去还是未来。这是那个企图掌控时间的狂妄之人应得的代价。
可胜利的果实却并不如想象中甜美。
P伸出手，召唤出那曾经闪耀的命运之轮，可它却如失了灵魂似的，逐渐暗淡，在混乱的时空中犹豫不决，不知该指向何方。
世界是公平而冰冷的机器。无论是善是恶，获得超越人类的力量，便要承受其代价。
有人，失去了与命运的连接。
有人，被流放到了时间的彼端。
F，那个曾并肩作战的伙伴，已然不在此时此地，不知是在过去的某个瞬间，还是在未来的某个时刻。
“F……”
“究竟何时，我们才能在无尽的时间长河中重逢……”
P望向漆黑的虚空，渴望看到F的身影，但人类的眼睛终究无法洞察更深的维度，只有天幕从无穷远处沿着光锥的边界汇聚而来，将空无的过去压进眼底。
P轻叹一声。时间的诅咒给予了他无尽的生命。从此之后，他只能永远孤独地漂泊在时间的洪流中，等待着那个或许永远不会到来的重逢。
“时间是一条衔尾的蛇。”只是不知，在这漫长的岁月中，庞加莱复现是否能再次将F带回到自己身边。
重逢终将会来临。P如此坚信。

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那么，请你证明一下P和F终会重逢吧。
「宇宙之数」$u$ 是一个在 $[0,1)$ 范围内的实数，记录着宇宙当前时刻的所有信息。如果两个时刻的 $u$ 相同，那么可以认为这两个时刻的宇宙相同。$u$ 关于时刻 $t$ 的函数 $u=f(t)$ 是一个定义域为 $\mathbb{R}$ 的连续函数。由于时间是环形的，存在 $T\in \mathbb{R}$ 满足 $\forall t \in \mathbb{R}, f(t+T)=f(t)$.
求证：
（1）$\exists t\in \mathbb{R}, f(t+\frac{T}{2})=f(t)$；
（2）$\forall k\in \mathbb Q, \exists t\in \mathbb{R}, f(t+kT)=f(t)$；
（3）$\forall m\in \mathbb{R}, \exists t\in \mathbb{R}, f(t+m)=f(t)$.

答案

设 $g(x)=f(x+T)-f(x)$，
设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的最小值为 $f(x_0)$，最大值为 $f(x_1)$，
由最值的定义可得 $g(x_0)\le0, g(x_1)\ge0$.
由于 $g$ 连续，在 $x_0$ 与 $x_1$ 之间一定存在 $t$，使得 $g(t)=0$，即 $f(t) = f(m+t)$.