题目背景

GPMO2025

题目描述

对于集合 $A=\{a_1, a_2, \dots, a_n\} \subseteq \mathbb{N_+}$ 和正整数 $k > \max A$，若 $k$ 除以 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 的余数之和为 $k$，则称 $A$ 是 $k$-有趣的.

（1）证明：不存在有趣的二元集合 $A$.

（2）若集合 $A$ 是有趣的，设集合 $A$ 的元素之和为 $S$, $\max A = M$. 证明:

$$S+1 \ge 2M+|A|.$$

并写出等号成立的条件.

（3）若 $A$ 对于 $L, L+1, \dots, R \ (L<R)$ 都有趣.

① 证明：$|A| \ge 4$.
② 证明：$2L > R$.
③ 证明：$R - L$ 可以遍取 $\mathbb{N_+}$.