流萤，可爱，题目。

已知数列 $\{a_n\}, n\in\mathbb{N}^*$，且 $\{a_{a_n}\}$ 为公差为 $1$ 的等差数列。

（1）若 $\{a_n\}$ 单调递增，求证： $\{a_n\}$ 为公差为 $1$ 的等差数列；
（2）求证：$a_{a_1}$ 为奇数；
（3）若 $a_{a_1} = 2n+1$，求符合条件的 $\{a_n\}$ 的数量。