流萤很可爱，所以请你帮她切一下橡木蛋糕卷。

一条蛋糕卷可以看作数轴上的一个开区间 $(a,b)$，且它的长度 $b-a$ 必须不小于 $2$.

对于一条蛋糕卷，流萤会选择离区间中点最近的一个整点，如果切出来的两半的长度都不小于 $2$ 的话，流萤就会把这条蛋糕卷从这个点切成两半。在保证每条蛋糕卷的长度不小于 $2$ 的情况下，流萤会用相同的方式处理切出来的两条蛋糕卷，直到不能再切为止。

当然，还有第二种切法。在保证切出来的蛋糕卷的长度不小于 $2$ 的情况下，流萤每次会把一条长度为 $2$ 的蛋糕卷切出来，然后用相同的方法处理剩余的蛋糕。

当蛋糕初始为 $(0,n)\ (n\ge 2)$ 时，我们设第一种切法最终把蛋糕切成了 $a_n$ 条，第二种切法最终把蛋糕切成了 $b_n$ 条。现在，你需要求 $\displaystyle\sum_{n=2}^{1024} \left| a_n-b_n \right|$.