外观
FFMP 20251012
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2025-10-12
数列 {an} 的下标从 0 开始,且 a0=0。若对于任意 n∈N∗,存在 i+j=n,使得 ∣ai−aj∣=n1,求数列 sn=i=1∑nai21 的所有可能值。
解答
猜想 n>0 时必有 ∣an∣=n1,以下使用数学归纳法证明。
先证 n=1 时成立。由题意存在 i+j=1 使 ∣ai−aj∣=1,由 i,j∈N 得 {i,j}={0,1},于是 ∣a0−a1∣=∣a1∣=1。
下证若 ∀0<i<n,∣ai∣=i1,则 ∣an∣=n1。先证一个引理:
引理
不存在正整数 m,n 使 ∣x−y∣=m1,∣y−z∣=n1,∣z−x∣=m+n1。
证明 反证法,假设存在这样的 m,n。
不妨设 m≤n,则 m+n1<n1≤m1,于是 m+n1+n1=m1。
通分得 mn+m2−n2=(25+1m−n)(m+25+1n)=0。
m,n∈N∗ 时两个因式均为无理数,矛盾。故不存在这样的 m,n。
因此,不存在 0<i,j<n 满足 ∣ai∣=i1,∣aj∣=j1,∣ai−aj∣=n1=i+j1。
由题意,必有 ∣an−a0∣=∣an∣=n1。
于是 sn=i=1∑nai21=i=1∑ni2=6n(n+1)(2n+1)。