数列 $\{a_n\}$ 的下标从 $0$ 开始，且 $a_0 = 0$。若对于任意 $n \in \mathbb{N}^*$，存在 $i+j = n$，使得 $|a_i - a_j| = \dfrac{1}{n}$，求数列 $s_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i^2}$ 的所有可能值。

解答

猜想 $n > 0$ 时必有 $|a_n| = \dfrac{1}{n}$，以下使用数学归纳法证明。

先证 $n=1$ 时成立。由题意存在 $i+j=1$ 使 $|a_i-a_j| = 1$，由 $i,j\in\mathbb{N}$ 得 $\{i,j\}=\{0,1\}$，于是 $|a_0-a_1| = |a_1| = 1$。

下证若 $\forall 0<i<n, |a_i| = \dfrac{1}{i}$，则 $|a_n| = \dfrac{1}{n}$。先证一个引理：

引理

不存在正整数 $m, n$ 使 $|x-y| = \dfrac{1}{m}, |y-z| = \dfrac{1}{n}, |z-x| = \dfrac{1}{m+n}$。

证明 反证法，假设存在这样的 $m,n$。

不妨设 $m \le n$，则 $\dfrac{1}{m+n} < \dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{m}$，于是 $\dfrac{1}{m+n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{m}$。

通分得 $mn+m^2-n^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}m-n\right)\left(m+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}n\right)=0$。

$m,n \in \mathbb{N}^*$ 时两个因式均为无理数，矛盾。故不存在这样的 $m,n$。

因此，不存在 $0<i,j<n$ 满足 $|a_i|=\dfrac{1}{i}, |a_j| = \dfrac{1}{j}, |a_i-a_j| = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{i+j}$。

由题意，必有 $|a_n-a_0| = |a_n| = \dfrac{1}{n}$。

于是 $\displaystyle s_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i^2} = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。

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