给定一个整数 $k \ge 3$.

我们称一个集合 $S$ 是好的，当且仅当 $|S|\ge2$，且 $\forall a, b \in S, \exists n\in\mathbb{N}, |a-b| = n^k$.

求证：一切可以划分成若干个好的集合的集合一定有偶数个元素。

答案

假设 $S$ 是好的且 $|S|\ge3$，则存在 $a, b, c \in S$ 且 $a<b<c$.
设 $x^k=b-a, y^k=c-b, z^k=c-a ~(x,y,z\in\mathbb{N}^*)$，则有

$$x^k+y^k=z^k$$

由费马大定理，矛盾。
故所有好的集合均有且只有两个元素。证毕。