已知 $x, y \in \mathbb{R}$ 满足 $x^2+y^2-xy=1$，求 $5xy+3y^2$ 的取值范围。

答案

设 $x=s+t, y=s-t$，有 $(s+t)^2+(s-t)^2-(s+t)(s-t) = s^2+3t^2=1$

设 $s=\cos\theta, t=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sin\theta ~(\theta\in\mathbb{R})$，则有

$$\begin{align*} 5xy+3x^2 &= 5(s+t)(s-t)+3(s+t)^2 \\ &= 8s^2-2t^2+6st \\ &= 8\cos^2\theta - \frac{2}{3}\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\cos\theta\sin\theta \\ &= 4(1+\cos2\theta) - \frac{1}{3}(1-\cos2\theta) + \sqrt{3}\sin2\theta \\ &= \frac{13}{3}\cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta + \frac{11}{3} \\ &= \frac{14}{3}\sin(2\theta+\varphi) + \frac{11}{3}, \\ &\textsf{其中 }\sin\varphi=\frac{13}{14}, \cos\varphi=\frac{3\sqrt{3}}{14}. \end{align*}$$

由 $\sin(2\theta+\varphi)\in[-1,1]$，可得 $5xy+3y^2 \in \left[-1, \dfrac{25}{3}\right]$.