自无梦的长夜亮起 / FFMP Ex8

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流萤有一个齿轮盒，齿轮盒里有 $n$ 个齿轮，第 $i$ 个齿轮有 $a_i$ 个齿. 在齿轮盒的外部显示着 $n$ 个数字，代表当前齿轮的哪个齿对准了刻度. 齿轮的齿从 $0$ 到 $n-1$ 依次逆时针编号. 齿轮盒的面板上会显示 $n$ 个数字，分别表示当前每个齿轮哪一个齿正对准刻度线.

齿轮盒上的数字初始都为 $0$ . 揺柄每转一圈，每个齿轮都会逆时针转过一个齿. 由于一些模数技巧，在每个齿轮都都转过一圈之后，如果齿轮盒上的数字之和等于揺柄转过的圈数，齿轮盒将会演奏一个音符.

开拓者想用相似的原理制造一个音乐盒，但是乐谱很长，于是开拓者希望它在连续的 $t$ 圈内都能成功演奏音符. 你需要证明：无论乐谱有多长，都可以制作出相应的齿轮盒，演奏出这个乐谱.

形式化题面

若存在 $A \subseteq \mathbb{N_+}$ 和 $R > L > \max A$ 使得 $\displaystyle \forall k \in \{L, \dots, R\}, \sum_{a \in A} k \bmod a = k$ ，求证： $R - L$ 可以任意大.

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