流萤正在严肃学习化学. 她了解到一类振荡反应, 加入指示剂之后, 能看见忽亮忽暗的美丽荧光. 她运用思维, 建立模型研究振荡反应.

(1) 若 $\mathbb{R}$ 上可导的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足 $f'(x)=g'(x)$, 证明: 存在常数 $C$ 使 $f(x)=g(x)+C$.

(2) 已知在 $\mathbb{R}$ 上可导的函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足 $f'(x) = h(x)g(x), g'(x) = -h(x)f(x)$.
证明: 存在常数 $A$ 和函数 $t(x)$ 使得 $f(x) = A \sin(t(x)), g(x) = A \cos(t(x))$.

(3) 在 (2) 的条件下, 若 $h(x) = x$, 函数 $I(x)$ 满足 $f(x) = I'(x)$, 证明存在 $f(x)$ 使得

$$\forall x_1 < 0 < x_2, I(x_1) < I(x_2).$$

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