Phantom Bird

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ATTII P6

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2026-1-1

流萤正在严肃学习生物必修二.

设集合 S={A,T,G,C}S=\{\texttt{A}, \texttt{T}, \texttt{G}, \texttt{C}\}, DD 为所有 SS 中的元素组成的长度为 nn 的序列的集合.

对于 E,F∈DE, F \in D, 定义距离 d(E,F)d(E,F) 为它们不同的项的个数.

对于一个 E∈DE \in D 和 r∈Nr \in \mathbb{N}, 定义 Br(E)={F∣d(E,F)≤r}B_r(E) = \{F \mid d(E,F)\le r\}.

(1) 对于 1≤r≤n,r∈N∗1\le r \le n, r \in \mathbb{N}^*, 求 ∣Br(E)∣−∣Br−1(E)∣|B_{r}(E)| - |B_{r-1}(E)| 的值.

(2) 记 br=∣Br(G)∣b_r = |B_{r}(G)|, 从 DD 中有放回、等概率地随机抽取 mm 个元素 E1,E2,…,EmE_1, E_2, \dots, E_m,
求 ∣Br(E1)∩Br(E2)∩⋯∩Br(Em)∣|B_r(E_1) \cap B_r(E_2) \cap \dots \cap B_r(E_m)| 的数学期望(保留 brb_r).

(3) 有 a∈N∗a \in \mathbb{N}^* 和 DD 中的元素组成 mm 项序列 E1,E2,…,EmE_1, E_2, \dots, E_m, 若 {F∈D∣∑i=1md(Ei,F)=a}=D\biggl\{F \in D \biggm\vert \displaystyle\sum_{i=1}^{m} d(E_i, F) = a \biggr\} = D,
求满足条件的方案数. 两种方案 a,{Ei}a, \{E_i\} 和 a′,{Ei′}a', \{E_i'\} 不同当且仅当 a≠a′a \ne a' 或 ∃1≤i≤m,Ei≠Ei′\exists 1{\le} i{\le} m, E_i \ne E_i'.

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