外观
FFMP 20251011
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2025-10-11
若曲线 Γ:(x−1)x(x+1)y=a (a=0) 与 C:x2+y2=r2 (r>0) 有四个切点,求 a 的值。
解答
联立
{(x3−x)y=ax2+y2=r2
消去 y,得
x2(x2−1)2(r2−x2)−a2=0
这是一个八次方程,由题意得方程有四个二重根。
令 t=x2,s=r2 (t≥0,s>0),则
t4−(2+s)t3+(1+2s)t2−st+a2=0
有两个二重根。设它们分别为 u,v,则方程可以表示为
(t−u)2(t−v)2=t4−2(u+v)t3+((u+v)2+2uv)t2−2uv(u+v)t+(uv)2=0
比对系数得 u+v=1+2s,uv=∣a∣,且
⎩⎨⎧(1+2s)2+2∣a∣=1+2s2∣a∣(1+2s)=s
两式相减得 s=4∣a∣,代入解得 ∣a∣=21。
即 a=±21,r=2。