FFMP 20251011

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2025-10-11

若曲线 $\Gamma: (x-1)x(x+1)y = a \ (a \ne 0)$ 与 $C: x^2+y^2=r^2 \ (r > 0)$ 有四个切点，求 $a$ 的值。

解答

联立

\begin{cases} (x^3-x)y = a \\ x^2+y^2 = r^2 \end{cases}

消去 $y$ ，得

x^2(x^2-1)^2 (r^2-x^2) - a^2 = 0

这是一个八次方程，由题意得方程有四个二重根。

令 $t = x^2, s=r^2\ (t \ge 0, s>0)$ ，则

t^4 - (2+s)t^3 + (1+2s)t^2 - st + a^2 = 0

有两个二重根。设它们分别为 $u, v$ ，则方程可以表示为

(t-u)^2 (t-v)^2 = t^4 - 2(u+v) t^3 + ((u+v)^2 + 2uv)t^2 - 2uv(u+v) t + (uv)^2 = 0

比对系数得 $u+v = 1 + \dfrac{s}{2}, uv = |a|$ ，且

\begin{cases} \left( 1+\dfrac{s}{2} \right)^2 + 2|a| = 1+2s \\[0.5em] 2|a| \left( 1+\dfrac{s}{2} \right) = s \end{cases}

两式相减得 $s = 4|a|$ ，代入解得 $|a| = \dfrac{1}{2}$ 。

即 $a = \pm \dfrac{1}{2}, r = \sqrt{2}$ 。

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