自无梦的长夜亮起 / GPMO2025 T3 / FFMP 20250526 (P)

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题目背景

对于集合 $A=\{a_1, a_2, \dots, a_n\} \subseteq \mathbb{N_+}$ 和正整数 $k > \max A$ ，若 $k$ 除以 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 的余数之和为 $k$ ，则称 $A$ 是 $k$ -有趣的.

（1）证明：不存在有趣的二元集合 $A$ .

（2）若集合 $A$ 是有趣的，设集合 $A$ 的元素之和为 $S$ , $\max A = M$ . 证明:

S+1 \ge 2M+|A|.

并写出等号成立的条件.

（3）若 $A$ 对于 $L, L+1, \dots, R \ (L<R)$ 都有趣.

① 证明： $|A| \ge 4$ .
② 证明： $2L > R$ .
③ 证明： $R - L$ 可以任意大.

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