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十万个冷笑话·其一 / FFMP 20250731

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2025-8-12

Theorem. 9×9=819\times9 = 81.

Proof. 9+9=18⇒rotation9×9=819+9=18 \xRightarrow{\text{rotation}} 9\times9=81.

求所有正整数 a,ba, b 满足 ab=rev⁡(a+b)ab = \operatorname{rev}(a+b)，其中 rev⁡(n)\operatorname{rev}(n) 是 nn 的十进制反序删除前导零后的结果.

答案

(2,2),(9,9),(3,24),(24,3),(2,49⋯97)∗,(49⋯97,2)∗(2, 2), (9, 9), (3, 24), (24, 3), (2, 49\cdots97)^*, (49\cdots97, 2)^*

* 没有 99 也可以

1a+1b=a+bab=a+brev⁡(a+b)>110.\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{a+b}{\operatorname{rev}(a+b)} > \frac{1}{10}.

不妨设 a≥ba\ge b，则 b≤20b \le 20.

对于 b≥10b \ge 10，乘法必然导致进位，于是加法也必须导致进位，即 a=999⋯8x‾ 或 999⋯9x‾a = \overline{999\cdots8x} \text{ 或 } \overline{999\cdots9x}.
根据 98×11≤100098 \times 11 \le 1000，必有 b=10b = 10. 此时积为 999⋯9x0‾\overline{999\cdots9x0}，和为 1000⋯0x‾\overline{1000\cdots0x}，不符合题意.

然后枚举即可，过程太长，不展示.

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